Axiome

1 / 17
Ideea-cheie

De unde începe o demonstrație?

În matematică nu demonstrăm totul de la zero. Alegem câteva adevăruri de pornire, clare în sistemul ales, apoi construim logic restul teoriei.

axiome → demonstrații → teoreme → teorie
Definiție

Ce este o axiomă?

O axiomă este un enunț acceptat ca punct de plecare într-un sistem matematic, fără demonstrație în interiorul acelui sistem.

punct de pornireregulă explicităbază pentru demonstrații
AXIOME DEMONSTRAȚII TEOREME O teorie matematică are nevoie de temelie.
Platon
Personalități care au construit metoda axiomatică

Platon

cca. 427-347 î.Hr.

Pentru Platon, matematica era un model al cunoașterii sigure: nu depinde de impresii trecătoare, ci de idei, relații și demonstrații.

A pregătit terenul cultural în care geometria a devenit limbaj al rigurozității.
Aristotel
Logica demonstrației

Aristotel

384-322 î.Hr.

A formulat ideea că științele demonstrative pornesc de la principii prime, nedemonstrate în acel sistem, apoi deduc concluzii prin raționament logic.

Axiomatica are nevoie de logică: dacă premisele sunt clare, concluziile pot fi controlate pas cu pas.
Euclid
Geometria ca sistem

Euclid

cca. 325-265 î.Hr.

În Elementele, Euclid organizează geometria pornind de la definiții, noțiuni comune și postulate, apoi deduce teoreme într-un lanț riguros.

De aici pornește modelul clasic al tratatului axiomatic.
Baruch Spinoza
Filosofie în formă geometrică

Baruch Spinoza

1632-1677

În Etica, Spinoza încearcă să construiască filosofia după model geometric: definiții, axiome, propoziții și demonstrații.

More geometrico: metoda geometrică devine ideal de ordine intelectuală.
David Hilbert
Axiomatica modernă

David Hilbert

1862-1943

În Grundlagen der Geometrie (1899), Hilbert reformulează riguros axiomele geometriei și separă relațiile logice de intuiția desenului.

Cuvinte-cheie: consistență, independență, completitudine.
Bertrand Russell
Alfred North Whitehead
Logica matematicii

Bertrand Russell și Alfred North Whitehead

Russell: 1872-1970 · Whitehead: 1861-1947

În Principia Mathematica, au încercat să fundamenteze matematica pe un sistem riguros de axiome și reguli logice.

Întrebarea devine radicală: cât din matematică se poate construi doar din logică?
Cronologia axiomaticii

De la idee filosofică la sistem logic

PlatonPlaton
AristotelAristotel
EuclidEuclid
SpinozaSpinoza
HilbertHilbert
RussellRussell
WhiteheadWhitehead
Schimbarea decisivă

Axioma paralelelor

În geometria euclidiană, printr-un punct exterior unei drepte trece exact o paralelă la dreapta dată.

Mult timp, matematicienii au încercat să demonstreze această afirmație din celelalte axiome. Descoperirea esențială: ea poate fi schimbată.

d P paralela prin P În plan, direcția paralelă este unică.
Pd exact o paralelă
Geometrie euclidiană

O singură paralelă

Pe o foaie plană, două drepte paralele nu se întâlnesc, iar prin P există o singură direcție paralelă cu dreapta d.

spațiu plattriunghi: 180°
Geometrie hiperbolică

Infinit de multe paralele

Într-un model hiperbolic, prin P pot trece mai multe geodezice care nu intersectează dreapta d.

curbură negativătriunghi: < 180°
d P mai multe geodezice prin P nu ating d
cercurile mari se întâlnesc
Geometrie eliptică

Nu există paralele

Pe sferă, „dreptele” sunt cercuri mari. Oricare două cercuri mari se întâlnesc; deci nu există paralele în sens euclidian.

curbură pozitivătriunghi: > 180°
Exemplu elocvent

Triunghiul își schimbă suma unghiurilor

Axiome diferite produc lumi geometrice diferite. Nu desenul decide adevărul, ci regulile sistemului.

Euclidian180°
Hiperbolic< 180°
Eliptic> 180°
Concluzie geometrică

O axiomă schimbată, o lume nouă

Geometriile neeuclidiene nu sunt „greșite”. Ele sunt sisteme coerente, construite pe alte axiome.

Rigoarea înseamnă să știm clar din ce axiome pornim.
Axiome Demonstrații Teoreme Schimbi axioma paralelelor obții o altă geometrie, la fel de riguroasă.

Sinteză

Axiomele sunt rădăcinile unei teorii matematice. Din ele cresc demonstrațiile, teoremele și întreaga arhitectură a unei lumi logice.

alegerea axiomelor decide geometria
Surse imagini

Portrete și licențe

Platon - Wikimedia Commons, Plato bust.png, CC0/Public Domain.

Aristotel - Wikimedia Commons, Aristotle Altemps Inv8575.jpg, domeniu public/Commons.

Euclid - Wikimedia Commons / Wellcome Collection, Portrait of Euclid Wellcome L0019815.jpg, CC BY 4.0.

Spinoza - Wikimedia Commons, Spinoza.jpg, domeniu public.

David Hilbert - Wikimedia Commons, Hilbert.jpg, domeniu public.

Bertrand Russell - Wikimedia Commons, Russell1907-2.jpg, domeniu public.

Alfred North Whitehead - Mathematical Association of America / Wellcome Collection, imagine public domain.