Aplicație Multimedia de Învățare • Continuarea poveștii: De la stele, înapoi pe Pământ
Așa cum am aflat, funcțiile trigonometrice (sinusul și cosinusul) s-au născut din nevoia de a calcula distanțele de pe bolta cerească. Dar, curând, marii învățați din Antichitate și din Epoca de Aur a Islamului au realizat ceva fantastic: dacă aceste „corzi” și „jumătăți de coardă” funcționează perfect printre stele, de ce nu le-am folosi aici, pe Pământ, pentru a măsura lucruri la care nu putem ajunge cu o sfoară?
Astfel s-a născut topografia. Navigatorii măsurau distanța până la o corabie inamică privind-o de pe un turn înalt, iar arhitecții ridicau apeducte și temple folosind primele forme de tangentă (numită pe atunci „umbra dreaptă” sau „umbra întoarsă” lăsată de un băț vertical în lumina soarelui).
Una dintre cele mai spectaculoase aplicații practice ale noilor tabele trigonometrice a fost realizată de învățatul persan Al-Biruni. Pe la începutul secolului al XI-lea, el se afla într-o expediție în regiunea Punjab (astăzi în Pakistan) și și-a propus un țel uluitor: să măsoare circumferința și raza întregului Pământ!
Înainte de el, grecul Eratostene o făcuse, dar folosise o metodă care presupunea mersul pe jos cu cămilele prin deșert pe distanțe uriașe, măsurând umbre în orașe diferite, ceea ce ducea la erori umane. Al-Biruni a fost mai ingenios. El a spus: „Nu am nevoie de expediții prin deșert. Am nevoie doar de un munte înalt, de un instrument de măsurat unghiuri (astrolab) și de trigonometrie!”
1. Al-Biruni a urcat pe vârful muntelui Nandana. A măsurat prima dată cu precizie înălțimea muntelui, notând-o cu h.
2. Apoi, s-a uitat direct spre linia orizontului (acel punct îndepărtat unde cerul pare să atingă pământul). A măsurat unghiul cu care privirea sa cobora sub orizontala perfectă. Acest unghi se numește unghi de depresie și îl vom nota cu θ (theta).
3. El și-a imaginat un triunghi dreptunghic gigantic care pătrundea prin scoarța terestră. Vârfurile triunghiului erau: vârful muntelui, punctul de pe orizont (unde linia vizuală atinge Pământul tangent) și chiar... Centrul Pământului!
În acest triunghi enorm, ipotenuza era Raza Pământului adunată cu înălțimea muntelui (R + h), iar cateta alăturată unghiului era fix Raza Pământului (R). Aplicând funcția trigonometrică corespunzătoare, el a scris geniala ecuație:
cos(θ) = R / (R + h)
Cunoscând pe "h" și "cos(θ)", Al-Biruni a izolat "R" și a calculat raza Pământului, obținând o valoare de 6339 km (doar cu 1% eroare față de sateliții moderni!). A făcut asta cu sute de ani înainte de descoperirea telescoapelor moderne, doar cu puterea minții și a trigonometriei!
Triunghiul gigant imaginat de Al-Biruni. Cunoștea înălțimea muntelui (h) și unghiul θ. Cu o simplă funcție COS, a dedus dimensiunea lumii.