AMII: Optimizare Geometrică și Funcții Radical

Aplicație Multimedia de Învățare (AMII Static) • Modelarea Distanțelor și Găsirea Minimului

📐 Enunțul Problemei

Se consideră funcția f : D → ℜ , f(x) = √(x2 - 2x + 5) + √(x2 - 4x + 29), unde D este domeniul maximal de definiție.

a) Domeniul maximal de definiție D

Rescriem cantitățile de sub radicali formând pătrate perfecte:

  • x2 - 2x + 5 = (x - 1)2 + 4 ≥ 4 > 0, oricare ar fi x ∈ ℜ.
  • x2 - 4x + 29 = (x - 2)2 + 25 ≥ 25 > 0, oricare ar fi x ∈ ℜ.

Deoarece expresiile de sub radicali sunt strict pozitive pentru orice număr real, condițiile de existență a radicalilor de ordin par sunt îndeplinite automat. Astfel, D = ℜ.

b) Modelarea Geometrică

Expresiile din funcție pot fi interpretate ca distanțe în planul cartezian xOy:

  • Termenul √((x - 1)2 + 22) reprezintă distanța de la un punct mobil M(x, 0) situat pe axa Ox, la un punct fix A(1, 2).
  • Termenul √((x - 2)2 + (-5)2) reprezintă distanța de la același punct mobil M(x, 0) la un punct fix B(2, -5).

Prin urmare, funcția f(x) reprezintă suma distanțelor AM + MB.

c) Valoarea minimă a funcției

Conform Inegalității Triunghiului, pentru orice trei puncte A, M, B, suma distanțelor AM + MB este mai mare sau egală cu distanța directă AB. Deoarece punctele A(1, 2) și B(2, -5) se află de o parte și de alta a axei Ox (ordonatele 2 și -5 au semne contrare), segmentul AB va intersecta axa Ox într-un punct M. Pentru acest punct M, punctele A, M, B sunt coliniare, iar suma atinge minimul!

Calculăm direct lungimea segmentului AB:
Minimul = AB = √((2 - 1)2 + (-5 - 2)2) = √(12 + (-7)2) = √(1 + 49) = √50 = 5√2.

🎨 Ilustrație Geometrică (Configurația)

Ox (y=0) Oy A(1, 2) B(2, -5) M(x, 0) M'

Linia întreruptă verde reprezintă distanța minimă AM + MB în linie dreaptă. Traseul portocaliu AM' + M'B demonstrează inegalitatea triunghiului (AM' + M'B > AB).

d) 📖 Formulare de Problemă Practică în Viața Reală

Problema Stației de Pompare (Rețea de apă):

Două sate, reprezentate pe hartă de punctele A(1, 2) km și B(2, 5) km (vom considera satul B situat de aceeași parte a râului și aplicăm principiul simetriei lui Heron folosind B'(2, -5)), au nevoie de acces la apă potabilă. În apropiere curge un fluviu perfect rectiliniu, reprezentat de axa Ox.

Primăria dorește să construiască o singură stație de pompare M(x, 0) pe malul fluviului, din care să plece două conducte separate, una spre satul A și una spre satul B.

Costul conductelor este foarte ridicat, fiind direct proporțional cu lungimea acestora. Cerința: Determinați unde anume pe malul râului (ce coordonată x) trebuie amplasată stația M astfel încât lungimea totală a conductelor (suma distanțelor AM + MB) să fie MINIMĂ, asigurând astfel optimizarea bugetului alocat de primărie. Valoarea minimă a lungimii conductelor va fi de 5√2 km (aproximativ 7,07 km).