Aplicație Multimedia de Învățare (AMII Static) • Găsirea maximului fără derivate, folosind inegalități
O companie are un buget fix de 44 de mii de euro pentru o campanie de marketing, care trebuie împărțit între două platforme diferite pentru a atrage numărul maxim de clienți noi.
Impactul total al campaniei (suma clienților din ambele surse, exprimată în unități specifice) este funcția obiectiv:
f(x) = √x + ∛(44 - x)
Cum putem găsi suma exactă x care maximizează impactul f(x), folosind strict metode algebrice de clasa a IX-a (fără derivate)?
Pentru a stabili maximul funcției f(x) = √x + ∛(44 - x), vom folosi notațiile substitutive și Inegalitatea Mediilor (cunoscută din clasa a IX-a).
Notăm radicalii cu variabile noi, asigurându-ne că sunt pozitive:
a = √x ⇒ a2 = x
b = ∛(44 - x) ⇒ b3 = 44 - x
Dacă le adunăm, obținem o ecuație de legătură constantă, independentă de x:
a2 + b3 = x + 44 - x = 44
Trebuie să găsim valoarea maximă pentru suma S = a + b.
Folosind faptul că un pătrat perfect este mereu pozitiv (a - 6)2 ≥ 0, dezvoltăm:
a2 - 12a + 36 ≥ 0 ⇒ 12a ≤ a2 + 36 (Egalitate pentru a = 6)
Pentru b, aplicăm Inegalitatea Mediilor (AM ≥ GM) pentru numerele pozitive b3, 8 și 8:
b3 + 8 + 8 ≥ 3 · ∛(b3 · 8 · 8) ⇒ b3 + 16 ≥ 3 · ∛(64b3)
b3 + 16 ≥ 3 · 4b ⇒ 12b ≤ b3 + 16 (Egalitate pentru b3 = 8, adică b = 2)
Adunăm cele două inegalități obținute:
12a + 12b ≤ (a2 + 36) + (b3 + 16)
12(a + b) ≤ (a2 + b3) + 52
Dar știm din Pasul 1 că suma a2 + b3 = 44. Înlocuim această valoare fixă:
12(a + b) ≤ 44 + 52
12(a + b) ≤ 96 ⇒ a + b ≤ 8
Așadar, maximul funcției este 8. Acest maxim este atins exact atunci când avem egalitate în ambele inegalități folosite, adică pentru a = 6 și b = 2.
Revenind la x: a = √x ⇒ 6 = √x ⇒ x = 36.
Pentru a atinge eficiența maximă, compania trebuie să aloce 36.000 euro pentru Social Media (Platforma A) și restul de 8.000 euro pentru Televiziune (Platforma B).