AMII: Sistemul Automat de Temperatură din Mini-Seră

🌿 Contextul Real și Modelul Matematic

Un grup de elevi, pasionați de botanică, folosesc un sistem automat pentru a menține temperatura optimă într-o mini-seră. Sistemul reglează temperatura f(x) (°C) în funcție de luminozitatea x (măsurată în unități de la 0 la 10). Pentru luminozitate scăzută temperatura scade, iar pentru luminozitate ridicată temperatura crește, dar sistemul are un punct critic de reglare la x = 4.

Legea de funcționare a sistemului:

f(x) = -3x + 20, dacă 0 ≤ x ≤ 4
5x - 12, dacă 4 < x ≤ 10

Cerințele inițiale:

a) Stabilește monotonia funcției f pe fiecare dintre ramurile corespunzătoare intervalelor I₁ = [0, 4] și I₂ = (4, 10].
b) Este funcția crescătoare, descrescătoare sau are punct de extrem? Justifică!

💡 Provocare suplimentară pentru elevi ingenioși și creativi: „Algoritmul de Protecție Termică”

Sarcină creativă: Imaginați-vă că plantele din mini-seră sunt sensibile și nu trebuie să sufere șocuri termice bruște, iar la temperaturi de peste 30°C se pot opări. Valoarea maximă actuală atinsă la x = 10 este de f(10) = 38°C, ceea ce pune în pericol culturile.

Cerința 1: Proiectați o modificare a celei de-a doua ramuri a funcției (sau un nou plafon maxim) astfel încât temperatura să nu depășească niciodată 30°C, menținând totuși continuitatea sistemului la x = 4.
Cerința 2: Definiți un nou model matematic g(x) și explicați cum ați schimba comportamentul sistemului în caz de lumină excesivă. Reprezentați intuitiv noua curbă de reglaj termic!