AMII: Sisteme de Ecuații de Gradul I și Gradul al Doilea

📐 Ce este un sistem mixt (liniar-pătratic)?

Un sistem format dintr-o ecuație de gradul I (liniară) și o ecuație de gradul al doilea în două necunoscute (x și y) are forma generală:

⎧ ax + by + c = 0 (ecuație liniară - dreaptă)
⎩ A x² + B xy + C y² + Dx + Ey + F = 0 (ecuație de gradul II - conică)

Metoda de rezolvare (Metoda Substituției):

Pasul 1: Din ecuația de gradul I (liniară), se exprimă una dintre necunoscute (de exemplu y) în funcție de cealaltă (x).
Pasul 2: Se substituie expresia obținută în ecuația de gradul al doilea. Se obține o ecuație de gradul al doilea într-o singură necunoscută.
Pasul 3: Se rezolvă ecuația unică în x pentru a afla valorile posibile. În funcție de discriminant (Δ), sistemul poate avea 2 soluții (dreapta taie conica în 2 puncte), 1 soluție (dreapta este tangentă la conică) sau nicio soluție (dreapta și conica nu se intersectează).
Pasul 4: Se determină valorile corespunzătoare pentru a doua necunoscută (y).

📖 Exemplu din viața reală: Traiectoria unei rachete ghidate și raza radarului circular

Imaginează-ți că lucrezi în centrul de comandă al unui sistem de apărare aeriană sau de control al traficului prin satelit.

Pe ecranul radarului, o zonă de perimetru securizat sau o furtună periculoasă este reprezentată printr-o limită circulară (o ecuație de gradul al doilea de tipul x² + y² = R²). Între timp, un avion sau o dronă de patrulare se deplasează urmând o rută rectilinie ideală (o ecuație liniară de gradul I de tipul ax + by + c = 0).

Pentru a afla exact în ce puncte (dacă există) traiectoria liniară a aeronavei va intersecta sau va pătrunde în perimetrul circular protejat, operatorii folosesc exact un sistem format dintr-o ecuație liniară și una de gradul al doilea. Rezolvarea sistemului prin substituție le indică instantaneu coordonatele geografice ale punctelor de intrare și ieșire din zonă, ajutând la prevenirea riscurilor de coliziune!