Problema nufărului de pe lac

Un lac are forma unui cerc. În mijlocul lacului se află un nufăr, tot de formă circulară. În fiecare zi, nufărul își dublează suprafața față de ziua precedentă. Cunoscând suprafața lacului și suprafața inițială a nufărului, să se determine după câte zile nufărul acoperă complet lacul.

În exemplul de mai jos, suprafața lacului este 64 unități², iar suprafața inițială a nufărului este 1 unitate². După 6 zile, nufărul acoperă lacul.

Etapele creșterii nufărului pe lac, de la ziua 0 până la ziua 6

Rezolvare matematică

1. Formula de recurență

Dacă notăm cu S_n suprafața nufărului în ziua n, atunci:

S₀ = S_inițial S_n = 2 · S_n−1, pentru n ≥ 1

2. Progresie geometrică

Șirul suprafețelor este o progresie geometrică cu rația q = 2:

S_n = S_inițial · 2ⁿ

Pentru exemplul ales:

1 · 2⁶ = 64

Deci nufărul acoperă lacul după 6 zile.

3. Program Python

suprafata_lac = 64
suprafata_nufar = 1

zi = 0

while suprafata_nufar < suprafata_lac:
    suprafata_nufar = suprafata_nufar * 2
    zi = zi + 1

print("Numărul de zile este:", zi)